2022 逐题

卷系：新高考卷　|　本年数列题量：1 题　|　专题来源：数列三专题（08 小题综合 / 09 解答题一 / 10 解答题二）

统计口径：与上一轮 136 题完全一致——难度层以「解析版详解文本长度」划分（基础 <600、中档 600–1000、中高档 1000–1500、高难度 >1500）；题型按题干形态判定；方法由解析文本关键词识别。

一、本年数列题概览

二、逐题详解

第 1 题（编号 2022-1）

【题干】

记 $S_n$ 为数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和，已知 $a_1=1$，$\left\{\dfrac{S_n}{a_n}\right\}$ 是公差为 $\dfrac13$ 的等差数列．

(1) 求 $\{a_n\}$ 的通项公式；

(2) 证明：$\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}+\cdots+\dfrac{1}{a_n}<2$．

【答案】 (1) $a_n=\dfrac{n(n+1)}{2}$　(2) 证明见解析

【详解】

第(1)问 —— Sn 与 an 关系 + 累乘法

由 $a_1=1$ 得 $S_1=a_1=1$，故 $\dfrac{S_1}{a_1}=1$．

由 $\left\{\dfrac{S_n}{a_n}\right\}$ 公差为 $\dfrac13$，得 $\dfrac{S_n}{a_n}=1+\dfrac{n-1}{3}=\dfrac{n+2}{3}$，即 $S_n=\dfrac{n+2}{3}a_n$．

当 $n\ge 2$ 时，$S_{n-1}=\dfrac{n+1}{3}a_{n-1}$，两式相减：

$$a_n=S_n-S_{n-1}=\frac{n+2}{3}a_n-\frac{n+1}{3}a_{n-1}\ \Rightarrow\ (n-1)a_n=(n+1)a_{n-1}\ \Rightarrow\ \frac{a_n}{a_{n-1}}=\frac{n+1}{n-1}$$

累乘：$a_n=a_1\cdot\dfrac{3}{1}\cdot\dfrac{4}{2}\cdot\dfrac{5}{3}\cdots\dfrac{n+1}{n-1}=\dfrac{n(n+1)}{2}$．

检验 $n=1$：$a_1=\dfrac{1\times2}{2}=1$ 成立．故 $a_n=\dfrac{n(n+1)}{2}$．

第(2)问 —— 裂项相消

$$\frac{1}{a_n}=\frac{2}{n(n+1)}=2\left(\frac1n-\frac{1}{n+1}\right)$$

$$\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{a_k}=2\left[\left(1-\frac12\right)+\left(\frac12-\frac13\right)+\cdots+\left(\frac1n-\frac1{n+1}\right)\right]=2\left(1-\frac{1}{n+1}\right)<2$$

【易错点】 ① $a_n=S_n-S_{n-1}$ 必须写 $n\ge2$ 并检验 $n=1$；② 累乘约分后易漏 $n=1$ 检验；③ 裂项系数 $2$ 易丢，导致结论变成 $<1$ 而与目标 $<2$ 不符。