一、空间几何体
1. 多面体的结构特征
- 棱柱有两个面互相平行（底面），其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边平行。
- 棱锥有一个面是多边形（底面），其余各面是有一个公共顶点的三角形。
- 棱台用平行于棱锥底面的平面截棱锥，底面与截面之间的部分。
2. 旋转体
- 圆柱矩形绕一边旋转而成
- 圆锥直角三角形绕一直角边旋转而成
- 圆台直角梯形绕垂直于底边的腰旋转而成
- 球半圆绕直径旋转而成
3. 常用公式速查
棱柱体积：V = S底 · h （底面积乘高）
棱锥体积：V = ⅓ S底 · h （底面积乘高的三分之一）
棱台体积：V = ⅓ h (S + √(S·S') + S') 注意：S、S' 是上下底面积
圆柱：V = π r² h S侧 = 2π r h S表 = 2π r h + 2π r²
圆锥：V = ⅓ π r² h S侧 = π r l （l 为母线）
圆台：V = ⅓ π h (r² + r r' + r'²) S侧 = π (r + r') l
球：V = ⅓ π R³ × 4 = 4/3 π R³ S球面 = 4 π R²
4. 三视图
- 正视图（主视图）：从物体正前方看
- 侧视图（左视图）：从物体左侧看
- 俯视图：从物体正上方看
口诀：长对正（正俯视图长相等）、高平齐（正视侧视图高相等）、宽相等（侧视俯视图宽相等）。
二、点、线、面的位置关系
1. 四个公理（基础中的基础）
- 公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
- 公理 2：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
- 公理 3：过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面（确定平面的依据）。
- 公理 4（平行公理）：平行于同一直线的两条直线平行。空间中等角定理的推广。
推论：
① 一条直线 + 直线外一点 → 确定一个平面
② 两条相交直线 → 确定一个平面
③ 两条平行直线 → 确定一个平面
2. 空间两直线的位置关系
| 位置关系 | 公共点 | 是否共面 |
|---|
| 相交 | 有且仅有一个 | 共面 |
| 平行 | 无 | 共面 |
| 异面 | 无 | 不共面 |
易错：异面直线既不相交也不平行，是空间独有的关系。求异面直线所成角，需要平移其中一条。
3. 直线与平面的位置关系
| 位置 | 符号表示 | 公共点 |
|---|
| 直线在平面内 | l ⊂ α | 无数个 |
| 直线与平面平行 | l ∥ α | 无 |
| 直线与平面相交 | l ∩ α = A | 恰好一个 |
4. 平面与平面的位置关系
| 位置 | 公共点 |
|---|
| 两平面平行 α ∥ β | 无 |
| 两平面相交 α ∩ β = l | 一条直线（无数个公共点） |
三、空间向量与立体几何
1. 空间向量基本定理
如果三个向量 a、b、c 不共面，那么对于空间任一向量 p，存在唯一一组实数 x、y、z，使得：
p = x a + y b + z c
其中 {a, b, c} 称为空间的一个基底。
关键：基底的三向量必须不共面。通常取两两垂直的三个向量作为正交基底，计算更方便（如建系）。
2. 空间向量数量积
a · b = |a| |b| cos⟨a, b⟩
夹角范围：⟨a, b⟩ ∈ [0°, 180°]。a ⟂ b ⇔ a · b = 0。
3. 用向量法证平行、垂直
- 证线线平行：方向向量共线（一个等于另一个的 k 倍）
- 证线面平行：直线的方向向量与平面内某向量平行，且直线不在该平面内
- 证面面平行：一个面内两条相交直线的方向向量分别平行于另一个面内的两条相交直线
- 证垂直：转化为向量点积为 0
4. 用向量法求空间角
- 异面直线角 θ：cos θ = |cos⟨a, b⟩|（取绝对值）
- 直线与平面所成角 θ：sin θ = |cos⟨a, n⟩|（n 是平面法向量）
- 二面角 θ：cos θ = ±cos⟨n₁, n₂⟩（法向量夹角的余弦或其相反数）
判断二面角的"凸"与"凹"：通常用观察法确认方向；若不确定，建议用几何法作辅助线更稳妥。
四、判定定理 vs 性质定理 对比表（核心重点）
⚠ 这一部分是基础薄弱学生的重灾区，必须让学生理解"判定"和"性质"的区别。
| 关系类型 |
判定定理（要证它成立） |
性质定理（已知它成立，能推出什么） |
| 线线平行 |
（基本不直接用） |
公理 4：平行于同一直线的两直线平行。
等角定理：两个角的两边分别平行，则两角相等或互补。 |
| 线面平行 |
l ⊄ α，l ∥ b，b ⊂ α ⇒ l ∥ α
（线外一点 + 线线平行 ⇒ 线面平行） |
l ∥ α，l ⊂ β，α ∩ β = b ⇒ l ∥ b
（线面平行 ⇒ 线线平行） |
| 面面平行 |
a ∥ α，b ∥ α，a ∩ b = P，a ⊂ β，b ⊂ β ⇒ β ∥ α
（一个面内两条相交线都平行于另一面 ⇒ 两面相面平行） |
α ∥ β，γ ∩ α = a，γ ∩ β = b ⇒ a ∥ b
（面面平行 ⇒ 线线平行） |
| 线面垂直 |
l ⊥ a，l ⊥ b，a ∩ b = P，a ⊂ α，b ⊂ α ⇒ l ⊥ α
（与平面内两条相交直线都垂直 ⇒ 线面垂直） |
l ⊥ α，b ⊂ α ⇒ l ⊥ b
（线面垂直 ⇒ 与面内所有直线垂直）
⇒ l ⊥ α 上任一直线 |
| 面面垂直 |
AB ⊂ α，AB ⊥ α ∩ β = l，B ∈ l ⇒ α ⊥ β
（一个面过另一个面的垂线 ⇒ 两面垂直） |
α ⊥ β，α ∩ β = l，AB ⊂ α，AB ⊥ l，B ∈ l ⇒ AB ⊥ β
（两面垂直 ⇒ 一个面内垂直于交线的直线垂直于另一面） |
记忆口诀：
"判定"是从条件推结论（要证某关系成立）；
"性质"是从已知结论推新结论（已知某关系成立，能推出什么）。
箭头方向相反！
五、常见易错点（学生最容易丢分的地方）
- 三视图还原错误：俯视图画在正下方，而不是镜像。看不清的部分用虚线。
- 异面直线误判：看着像平行，其实因视角不同是异面。
- 线面平行忘写"线不在面内"（判定定理前提）。
- 棱台体积公式记成 V = ⅓ (S + S') h：错！应是 V = ⅓ h (S + √(SS') + S')。
- 球体积公式忘记 4/3：写成了 ⅓ π R³。
- 用空间向量时，基底不共面（选了共线的两个向量）。
- 求二面角忘了确定范围（二面角 ∈ [0°, 180°]）。
- 向量法建系时找不到原点：选三条互相垂直的交线交点作为原点最稳妥。
- 证明过程写"显然"或"由图可知"：高考阅卷中不规范，必须写出定理依据。
- 漏写"因为 ABCD 是矩形/菱形"等关键条件：扣分重灾区。
📌 教学使用建议
- 第一轮复习时，用一周时间把这份清单逐项过一遍。
- 每节课只讲 2-3 个核心概念，配合 3-5 道最基础的小题，听懂就能做对，建立信心。
- 用对比表（第四部分）作为讲义，让学生反复背诵、默写。
- 配合诊断卷使用，识别每个学生的具体漏洞。