高三数学 · 学生讲义

立体几何大题答题模板（流程图示版）

看图走流程 · 每个分支配公式 · 适合贴在笔记本首页

总流程：拿到题的 5 步动作

第 1 步
读题标注
圈出中点、垂直、边长
底面是什么图形
→
第 2 步
证平行 / 垂直
按分支 ① ② 的流程
找线、套判定定理
→
第 3 步
建系 · 标点
先证后建
三类点法写坐标
→
第 4 步
求法向量
n·u = 0，n·v = 0
令一分量为 1
→
第 5 步
套公式
问什么套什么
分子加绝对值

分支 ①：证平行

①
看到「证明：XX ∥ 平面 XX」就走这条路
问：平面内的平行线从哪找？
信号：出现「中点」 → 中位线：EF ∥ BC，EF = ½BC
信号：对边平行且相等 → 平行四边形判定
信号：对应边成比例 → 相似：AD/AB = AE/AC ⟹ DE ∥ BC
问：找到线之后怎么写？
套线面平行判定 a ⊄ α，b ⊂ α，a ∥ b ⟹ a ∥ α
↓
必写两句（采分点） b ⊂ 平面 α　　a ⊄ 平面 α

分支 ②：证垂直

②
看到「证明：XX ⊥ 平面 XX」就走这条路
问：两组线线垂直从哪来？
等腰 + 中点 三线合一：AD ⊥ BC
题目给三边长 勾股逆：AB² + BC² = AC² ⟹ ∠B = 90°
圆的直径 / 直棱柱 直径 ⟹ 圆周角 90°；侧棱 ⊥ 底面
已知面面垂直 α⊥β，α∩β=l，a⊂β，a⊥l ⟹ a⊥α
问：凑齐后怎么写？
套线面垂直判定 a∩b=P，a⊂α，b⊂α，l⊥a，l⊥b ⟹ l⊥α
↓
必写一处（最高频扣分点） a ∩ b = P（"相交"必须落在纸上）

分支 ③：建系 · 标点

建系之前：先证后建
底面找直角（x、y 轴）
a
矩形 / 正方形 → 直接建
b
菱形 → 对角线互垂 AC ⊥ BD
c
等腰 / 等边三角形 → 三线合一 AD ⊥ BC
d
一般四边形 → 凑勾股逆定理
z 轴从哪来
a
直棱柱侧棱 → 天然 z 轴
b
面面垂直 → 交线的垂线即 z 轴
c
侧棱与底面垂直 → 侧棱作 z 轴
d
写一句证明再建系：∵…∴BP⊥平面ABCD，以D为原点建系
标点：三类点法
坐标点（两个零）
1
在坐标轴上
A(0,0,0)、B(2,0,0)、P(0,0,2)
2
直接读图写，逐轴核对
平面点（一个零）
1
在某个坐标面内
C(2,3,0)、E(2,0,1)
2
把该平面单独画成平面图再定坐标
空间点（没有零）
1
点在已知线上 → P = A + λ(B−A)，中点 λ=½
2
条件分散 → 设 P(x,y,z)，列三个方程解

分支 ④：求法向量

设 n = (x, y, z)，令一个分量 = 1
标准法（答题这样写）
1
取平面内不共线向量 u、v
2
列方程 n·u = 0　n·v = 0
3
令一个分量为 1，解出其余两个
4
代回检验：n·u、n·v 是否都为 0
寻零诀（口算验算用）
1
寻零：有 0 分量的方程短，先写。u=(a₁,b₁,0) ⟹ 令 x=b₁、y=−a₁
2
交叉乘（没有 0 时）：
3
n = u×v = (b₁c₂−c₁b₂, c₁a₂−a₁c₂, a₁b₂−b₁a₂)

分支 ⑤：问什么，套什么（公式决策树）

题目问的是什么？
异面直线所成角
1
取两直线的方向向量 a、b
2
cos θ = |a·b| / (|a||b|)
3
分子加绝对值
线面角
1
取法向量 n、直线方向向量 AP
2
sin θ = |n·AP| / (|n||AP|)
3
是 sin，不是 cos！
二面角
1
取两平面法向量 n₁、n₂
2
|cos θ| = |n₁·n₂|/(|n₁||n₂|)
3
看图判断锐角还是钝角
点到平面的距离
1
取法向量 n，A 在面内，P 在面外
2
d = |n·AP| / |n|
3
分母少一个 |AP|（对比线面角）
统一记忆：分子都是「点积的绝对值」，分母都是「模乘模」。求角除以两个模，求距离只除法向量的模。

分支 ⑥：求体积 / 求距离（等体积法）

题目问体积还是距离？
直接求体积
锥
V = ⅓·S·h（最常考）
柱
V = S·h
台
V = ⅓h(S + √(SS′) + S′)（中间项别忘）
球
V = 4/3·πR³，S = 4πR²
点到斜面的距离 → 等体积法
1
同一个三棱锥换底：⅓SABCd = ⅓SPABhC
2
选「底面积好算、高好求」的那一面
3
解出 d = 3V / SABC

公式速查卡（考前 30 秒过一遍）

立体几何 · 一页速查
线面平行a⊄α，b⊂α，a∥b ⟹ a∥α
线面垂直两相交线都垂 ⟹ l⊥α
异面直线角cosθ = |a·b|/(|a||b|)
线面角sinθ = |n·AP|/(|n||AP|)
二面角|cosθ| = |n₁·n₂|/(|n₁||n₂|)
点面距d = |n·AP|/|n|
法向量n·u=0，n·v=0，令一分量=1
叉乘速算n=u×v=(b₁c₂−c₁b₂, c₁a₂−a₁c₂, a₁b₂−b₁a₂)
中点M = ((x_A+x_B)/2, …)
锥体积V = ⅓Sh
球V = 4/3·πR³，S = 4πR²
等体积法⅓S₁d = ⅓S₂h ⟹ d = 3V/S₁

交卷前 10 秒检查清单

证明部分
□
「⊂ 平面」「⊄ 平面」写了吗？
□
「a ∩ b = P」相交写了吗？
□
建系前写了垂直的证明吗？
计算部分
□
法向量代回检验了吗？
□
线面角用的是 sin 吗？
□
分子加绝对值了吗？
□
二面角看图判断钝锐了吗？
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