第 0 章 工具箱（预备知识）

【为什么要有这一章】

先给你吃一颗定心丸：这一章的内容，全部是初中和高中最基础的计算功夫， 一共就 4 件工具，最多花 3 小时就能补完。

后面每一章都会用到它们。如果你跳过这一章直接学复数、集合、向量， 你会不停地卡在"这个不等式怎么解""这两个数怎么分解"上， 然后你会觉得"我果然学不会数学"，其实你只是缺这 4 件工具。

所以，先花 3 小时把工具备齐。

本章只有一个要求：把方法背下来，然后会用。 不需要理解"为什么"，会用就行。

工具 1：十字相乘（用来分解二次三项式）

它长什么样

一个二次三项式，形如

我们希望把它写成

的形式。只要找到 $p$ 和 $q$ 就行了。

怎么找

核心口诀：

找两个数，乘起来等于后面的数，加起来等于中间的数。

举例：分解 $x^2 - x - 6$

第 1 步，找出所有乘积等于 $-6$ 的整数对：

第 2 步，我们要的和是 $-1$（因为 $x^2 \mathbf{- 1}x - 6$ 中间是 $-1$）。

表格里只有 $2 \times (-3)$ 这一对的和是 $-1$，所以 $p = 2$，$q = -3$。

第 3 步，写答案：

验算（一定要做）：把右边展开看看是不是等于左边。

写成"竖式"更快（推荐练熟这个写法）

   x        +2
   x        -3
   ────────────────
   x²       -6         ← 2x + (-3)x = -x

（最后那行是验算：把对角线上的两项相乘再相加，看结果等不等于中间项 $-x$。）

练熟之后，你看到 $x^2 - x - 6$ 会直接反应出 $(x+2)(x-3)$，不需要列表格。

再练 3 个（自己动手写一遍）

⚠️ 如果找不到整数对怎么办？
那就说明这个式子在高考里不会考十字相乘，或者需要用求根公式
（$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$）。
本章只要求你练熟"能找到整数对"的那些，这些才是高考常见的形式。

工具 2：解一元二次不等式

三步走（背下来就行）

以 $x^2 - x - 6 \le 0$ 为例。

第 1 步：先解方程，找到两个根。

令 $x^2 - x - 6 = 0$。用工具 1 分解：

两个数相乘等于 $0$，说明其中至少有一个是 $0$，所以：

第 2 步：画数轴，把两个根标上去（小的在左，大的在右）。

        -2          3
    ─────●──────────●─────→ x

第 3 步：看不等号，取"中间"还是"两边"。

本题是 $\le 0$（小于），所以取中间：

答案就是它。

三个必须注意的点

① 符号问题：不等号是 $\le$（含等号）时，答案也用 $\le$（带等号）； 不等号是 $<$（不含等号）时，答案也用 $<$。

② 二次项系数必须是正数。 如果题目是 $-x^2 + x + 6 \ge 0$，先在两边同时乘 $-1$：

⚠️ 乘负数时，不等号要变方向！ $\ge$ 变成 $\le$，$<$ 变成 $>$。
这是初中就学过的规则，但每年都有人忘。

③ 两个根相等怎么办？ 比如 $x^2 - 4x + 4 \le 0$，分解得 $(x-2)^2 \le 0$。 因为平方永远 $\ge 0$，所以只有 $x = 2$ 时等号成立。 答案就是 $x = 2$（只有这一个值）。

工具 3：解绝对值不等式

核心就两条（背下来）：

人话版：小于的拆成中间，大于的拆成两边。

举例 1：解 $|x - 1| < 1$

看形式是 $|A| < a$（$A = x-1$，$a = 1$），所以拆成中间：

三个位置同时加 1（不等式三条边同时加减同一个数，不等号方向不变）：

答案：$0 < x < 2$。

举例 2：解 $|x - 1| \ge 2$

看形式是 $|A| > a$（$\ge$ 也算），所以拆成两边：

分别解：

答案：$x \le -1$ 或 $x \ge 3$。

举例 3：解 $|2x + 1| < 3$

拆成中间：

三个位置同时减 1：

三个位置同时除以 2（除以正数，不等号不变）：

答案：$-2 < x < 1$。

工具 4：坐标运算与距离公式

点的坐标

平面上的一个点，用一对数字表示：$A(x_1,\ y_1)$。 第一个数是横坐标（左右），第二个数是纵坐标（上下）。

两点间距离公式

人话解释：横着差多少、竖着差多少，然后用勾股定理。

记忆技巧：这跟"直角三角形的斜边 = $\sqrt{两条直角边的平方和}$"是同一件事。

举例

题：求 $A(1,2)$ 与 $B(4,6)$ 之间的距离。

第 1 步，算横坐标之差：

第 2 步，算纵坐标之差：

第 3 步，代入公式：

答案：$5$。

常用"勾股数"（背下来能省时间）

看到 $(3,4)$ 能立刻想到 $5$，这在复数、平面向量里能帮你省下很多时间。

中点坐标公式

$A(x_1,y_1)$、$B(x_2,y_2)$ 的中点 $M$ 的坐标：

人话解释：横坐标取平均，纵坐标取平均。

工具 5：根号与开方（顺手补一下）

三条运算规则：

分母有理化（把分母的根号去掉）：

考场上如果 $\sqrt{13}$ 这种数开不出来，就让它留着，不要化成小数。
高考答案里出现 $\sqrt{13}$ 是完全正常的。

【模仿练习】

要求：不看书、不看答案，独立完成。限时 30 分钟。
做对 9 题以上算达标。

1. 分解因式：$x^2 + 7x + 12 =$ ______。

2. 分解因式：$x^2 - 5x - 6 =$ ______。

3. 解不等式：$x^2 - x - 6 > 0$。

4. 解不等式：$x^2 - 5x + 6 \le 0$。

5. 解不等式：$-x^2 + 4x - 3 \ge 0$。

6. 解不等式：$|x - 2| < 3$。

7. 解不等式：$|x + 1| \ge 2$。

8. 解不等式：$|2x - 1| \le 5$。

9. 求 $A(-1, 2)$ 与 $B(3, 5)$ 之间的距离 $|AB|$。

10. 求 $A(1, 3)$ 与 $B(5, 7)$ 的中点 $M$ 的坐标。

        -2          3
    ─────○──────────○─────→

本章总结（抄一遍）

这一章你只需要记住 5 句话：

1. 十字相乘：找两个数，乘积 = 常数项，和 = 一次项系数。
2. 解一元二次不等式：先解方程找两根 → 画数轴 → 小于取中间，大于取两边。
3. 二次项系数是负的，先乘 $-1$ 变正，同时不等号变方向。
4. 绝对值不等式：小于拆中间，大于拆两边。
5. 两点距离 $= \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$；中点坐标 = 两端坐标取平均。

这 5 句话，后面每一章都要用。请务必练到不用想就能写出来。

🎉 工具齐了

到这里，你的"计算工具箱"已经装好了。

接下来你学复数、集合、平面向量的时候，会不停地用到这 5 件工具。 如果哪一步卡住了，回到这一章翻一眼就行。

下一步：第 1 章 复数 —— 这是全卷最容易拿的 5 分。