2023 逐题

卷系：新高考卷　|　本年数列题量：2 题　|　专题来源：数列三专题（08 小题综合 / 09 解答题一 / 10 解答题二）

统计口径：与上一轮 136 题完全一致——难度层以「解析版详解文本长度」划分（基础 <600、中档 600–1000、中高档 1000–1500、高难度 >1500）；题型按题干形态判定；方法由解析文本关键词识别。

一、本年数列题概览

二、逐题详解

第 1 题（编号 2023-1）

【题干】

记 $S_n$ 为数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和，设甲：$\{a_n\}$ 为等差数列；乙：$\left\{\dfrac{S_n}{n}\right\}$ 为等差数列，则（　）

A．甲是乙的充分条件但不是必要条件

B．甲是乙的必要条件但不是充分条件

C．甲是乙的充要条件

D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

【答案】 C

【详解】

充分性（甲 $\Rightarrow$ 乙）

设 $\{a_n\}$ 首项 $a_1$、公差 $d$，则 $S_n=na_1+\dfrac{n(n-1)}{2}d$，

$$\frac{S_n}{n}=a_1+\frac{n-1}{2}d=\frac{d}{2}n+\left(a_1-\frac{d}{2}\right)$$

是关于 $n$ 的一次式，故 $\left\{\dfrac{S_n}{n}\right\}$ 为等差数列．甲 $\Rightarrow$ 乙成立．

必要性（乙 $\Rightarrow$ 甲）

设 $\dfrac{S_{n+1}}{n+1}-\dfrac{S_n}{n}=t$（常数），即 $\dfrac{nS_{n+1}-(n+1)S_n}{n(n+1)}=\dfrac{na_{n+1}-S_n}{n(n+1)}=t$，

故 $S_n=na_{n+1}-tn(n+1)$，进而 $S_{n-1}=(n-1)a_n-tn(n-1)$（$n\ge2$）．

两式相减：$a_n=na_{n+1}-(n-1)a_n-2tn$，整理得 $a_{n+1}-a_n=2t$（常数），

且对 $n=1$ 亦成立，故 $\{a_n\}$ 为等差数列．乙 $\Rightarrow$ 甲成立．

综上，甲是乙的充要条件，选 C．

【易错点】 ① 只证一个方向就下结论（最常见失分）；② 必要性证明中忽略 $n=1$ 的检验；③ 把 $\dfrac{S_n}{n}$ 误当作 $S_n$ 处理。

第 2 题（编号 2023-2）

【题干】

设等差数列 $\{a_n\}$ 的公差为 $d$，且 $d>1$．令 $b_n=\dfrac{n(n+1)}{a_n}$，记 $S_n,T_n$ 分别为数列 $\{a_n\},\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和．

(1) 若 $3a_2=3a_1+a_3$，$S_3+T_3=21$，求 $\{a_n\}$ 的通项公式；

(2) 若 $\{b_n\}$ 为等差数列，且 $S_{99}-T_{99}=99$，求 $d$．

【答案】 (1) $a_n=3n$　(2) $d=\dfrac{51}{50}$

【详解】

第(1)问 —— 基本量法

由 $3a_2=3a_1+a_3$ 得 $3(a_1+d)=3a_1+(a_1+2d)$，即 $3d=a_1+2d$，故 $a_1=d$．

于是 $a_n=a_1+(n-1)d=nd$，$S_3=3a_2=3(a_1+d)=6d$．

$$T_3=b_1+b_2+b_3=\frac{2}{d}+\frac{6}{2d}+\frac{12}{3d}=\frac{2}{d}+\frac{3}{d}+\frac{4}{d}=\frac{9}{d}$$

由 $S_3+T_3=21$ 得 $6d+\dfrac{9}{d}=21$，即 $2d^2-7d+3=0$，

解得 $d=3$ 或 $d=\dfrac12$（因 $d>1$，舍去）．故 $a_n=3n$．

第(2)问 —— 等差中项 + 性质转化

$\{b_n\}$ 为等差数列 $\Rightarrow 2b_2=b_1+b_3$，即 $\dfrac{12}{a_2}=\dfrac{2}{a_1}+\dfrac{2}{a_3}$，

代入 $a_n=a_1+(n-1)d$ 化简得 $a_1^2-3a_1d+2d^2=0$，解得 $a_1=d$ 或 $a_1=2d$．

又 $S_{99}-T_{99}=99$，由等差数列性质 $S_{99}=99a_{50}$、$T_{99}=99b_{50}$，得 $a_{50}-b_{50}=1$．

即 $a_{50}-\dfrac{2550}{a_{50}}=1$，解得 $a_{50}=51$ 或 $a_{50}=-50$（舍去）．

若 $a_1=2d$，则 $a_{50}=a_1+49d=51d=51$，得 $d=1$，与 $d>1$ 矛盾，无解；

若 $a_1=d$，则 $a_{50}=50d=51$，得 $d=\dfrac{51}{50}$．

综上，$d=\dfrac{51}{50}$．

【易错点】 ① $d=\dfrac12$ 未用 $d>1$ 舍去；② $a_{50}=-50$ 未舍（隐含 $a_n>0$）；③ $a_1=2d$ 分支未验证 $d>1$ 就作答；④ $S_{99}=99a_{50}$ 的中项性质用错下标。