2025 逐题

卷系：新高考卷　|　本年数列题量：2 题　|　专题来源：数列三专题（08 小题综合 / 09 解答题一 / 10 解答题二）

统计口径：与上一轮 136 题完全一致——难度层以「解析版详解文本长度」划分（基础 <600、中档 600–1000、中高档 1000–1500、高难度 >1500）；题型按题干形态判定；方法由解析文本关键词识别。

一、本年数列题概览

二、逐题详解

第 1 题（编号 2025-1）

【题干】

若一个等比数列的各项均为正数，且前 $4$ 项的和等于 $4$，前 $8$ 项的和等于 $68$，则这个数列的公比等于 $\underline{\qquad\qquad}$．

【答案】 2

【详解】

方法一 —— 求和公式作商（通法）

设公比为 $q(q>0)$．若 $q=1$，则 $S_4=4a_1=4\Rightarrow a_1=1$，$S_8=8\ne68$，矛盾，故 $q\ne1$．

$$S_4=\frac{a_1(1-q^4)}{1-q}=4,\qquad S_8=\frac{a_1(1-q^8)}{1-q}=68$$

两式相除：$\dfrac{1-q^8}{1-q^4}=17$，即 $1+q^4=17$，得 $q^4=16$．

因 $q>0$，故 $q=2$．

方法二 —— 分段和性质（最快）

$$S_8-S_4=a_5+a_6+a_7+a_8=(a_1+a_2+a_3+a_4)q^4=S_4\cdot q^4$$

$$\frac{S_8-S_4}{S_4}=\frac{68-4}{4}=16=q^4\ \Rightarrow\ q=2$$

【易错点】 ① 忘记讨论 $q=1$（本题因 $S_4\ne\dfrac12S_8$ 可排除，但规范书写须讨论）；② $q^4=16$ 得出 $q=\pm2$ 后未按「各项均为正数」舍去负值；③ 误用 $S_8=2S_4$ 之类错误关系。

第 2 题（编号 2025-2）

【题干】

已知数列 $\{a_n\}$ 中，$a_1=3$，$a_{n+1}=\dfrac{n}{n+1}a_n+\dfrac{1}{n+1}$（等价于 $(n+1)a_{n+1}=na_n+1$）．

(1) 证明：数列 $\{na_n\}$ 是等差数列；

(2) 给定正整数 $m$，设函数 $f(x)=a_1x+a_2x^2+\cdots+a_mx^m$，求 $f'(-2)$．

【答案】 (1) 证明见解析　(2) $f'(-2)=\dfrac79-\dfrac{(3m+7)(-2)^m}{9}$

【详解】

第(1)问 —— 构造新数列

由 $a_{n+1}=\dfrac{n}{n+1}a_n+\dfrac{1}{n+1}$，两边同乘 $(n+1)$：

$$(n+1)a_{n+1}=na_n+1\ \Rightarrow\ (n+1)a_{n+1}-na_n=1$$

记 $u_n=na_n$，则 $u_{n+1}-u_n=1$，故 $\{na_n\}$ 是以 $u_1=1\cdot a_1=3$ 为首项、$1$ 为公差的等差数列．

$$na_n=3+(n-1)=n+2\ \Rightarrow\ a_n=\frac{n+2}{n}=1+\frac2n$$

第(2)问 —— 求导 + 错位相减（函数与数列杂糅）

$$f'(x)=\sum_{k=1}^{m}ka_kx^{k-1}=\sum_{k=1}^{m}(k+2)x^{k-1}=3+4x+5x^2+\cdots+(m+2)x^{m-1}$$

$$xf'(x)=3x+4x^2+\cdots+(m+1)x^{m-1}+(m+2)x^{m}$$

两式相减（$x\ne1$ 且 $x\ne0$）：

$$(1-x)f'(x)=3+(x+x^2+\cdots+x^{m-1})-(m+2)x^m=3+\frac{x(1-x^{m-1})}{1-x}-(m+2)x^m$$

令 $x=-2$，得 $3f'(-2)=3+\dfrac{-2\left[1-(-2)^{m-1}\right]}{3}-(m+2)(-2)^m$，

整理得 $f'(-2)=\dfrac79-\dfrac{(3m+7)(-2)^m}{9}$．

【易错点】 ① 第(1)问构造时未说明首项为 $1\cdot a_1=3$；② 第(2)问求和时项数（$m$ 项）数错；③ 错位相减未在 $x=-2$ 处检验 $x\ne1$ 的前提；④ 最终代数化简符号出错（$(-2)^m$ 的符号随 $m$ 奇偶变化）。